Corrigé 3 - Radioactivité et médecine nucléaire 2

Q1. Deux noyaux sont dits isotopes s'ils possèdent le même nombre de protons mais un nombre de neutrons différent (c'est-à-dire même `Z`, mais `A` différent).

Q2. L'équation de la réaction de synthèse est : \(_{42}^{96}\text{Mo + }_{1}^{2}\text{H } \rightarrow\ _{43}^{97}\text{Tc + }_{Z}^{A}\text{X}\).

En appliquant les lois de conservation à cette réaction nucléaire, on obtient le système :
\(\left\{ \begin{array}{} 96+2=97+A\\ 42+1=43+Z \end{array}\right.\)

soit:
\(\left\{ \begin{array}{} A=98-97=1\\ Z=43-43=0 \end{array}\right.\)

La particule manquante est donc un neutron de notation symbolique \(_{0}^{1}\text{n}\).

Q3. L'équation de la réaction de désintégration du molybdène 99 est :

\(_{42}^{99}\text{Mo} \rightarrow\ _{43}^{99}\text{Tc + }_{Z}^{A}\text{X}\)

En appliquant les lois de conservation à cette réaction nucléaire, on obtient le système :

\(\left\{ \begin{array}{} 99=99+A\\ 42=43+Z \end{array}\right.\)

soit :

\(\left\{ \begin{array}{} A=99-99=0\\ Z=42-43=-1 \end{array}\right.\)

On en déduit que la particule émise est un électron  \(_{-1}^{0}\text{e}\), celle de la radioactivité β⁻ (bêta moins). L'équation de réaction complétée est donc : \(_{42}^{99}\text{Mo} \rightarrow\ _{43}^{99}\text{Tc + }_{-1}^{0}\text{e}\).

Q4. L'activité d'un échantillon de radio-isotope donné peut s'exprimer avec les deux relations suivantes : `A(t)=-\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}` et `A(t)=\lambda\timesN(t)`.

En égalisant ces deux expressions, il vient :

`-\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}=\lambda\timesN(t)`

On obtient alors l'équation différentielle suivante :

`\frac{\text {d}N(t)}{\text {d}t}+\lambda\timesN(t)=0`

La solution de cette équation différentielle est du type :

\(N(t)=K\times e^{ -\lambda\times t}+\frac{0}{\lambda}\) , soit  \(N(t)=K\times e^{ -\lambda\times t}\)

À \(t = 0\), on a  \(N(0)=K\times e^{ -\lambda\times 0}=K\) et \(N(0)=N_\text {0}\)

Donc \(K = N_0\) . Il vient la loi de décroissance radioactive vérifiée par le nombre de noyaux de radio-isotopes : \(N(t)=N_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}\)

Q5. Comme `A(t)=\lambda\timesN(t)`, on a aussi `A(t)=\lambda\timesN_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}`. Ainsi, comme `A(0)=\lambda\timesN_\text {0}=A_\text {0}`, on a aussi la loi de décroissance radioactive vérifiée par l'activité de l'échantillon de radio-isotopes : \(A(t)=A_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t}\).

Q6. L'activité initiale de la dose injectée au patient est `A_{0}=555\ "MBq"`. On cherche `N_0`. On sait que :

• d'une part, `A_\text {0}=\lambda\timesN_\text {0}` ;
  
• d'autre part, `\lambda=\frac{ln2}{t_{"1/2"}}` (cette relation est importante car l'énoncé ne fournit pas directement `lambda`).
  

En combinant ces deux expressions, on peut écrire :

`N_0=\frac{A_0}{ln2}\timest_{"1/2"}=\frac{555\times10^6\ "Bq"}{ln2}\times6,0\ "h"`

Attention : l'activité est donnée en `"Bq"`, soit (par définition) un nombre de désintégrations par seconde ; il est donc nécessaire de convertir `t_{"1/2"}` en secondes.

`N_0=\frac{555\times10^6\ "Bq"}{ln2}\times(6,0\times 3\ 600)\ "s"=1,7\times10^13`

La dose injectée contenait `1,7\times10^13` noyaux de technétium 99.

Q7. À la fin de l'examen, l'activité du patient est égale à `63 %` de sa valeur initiale. On souhaite calculer la durée nécessaire pour atteindre cette valeur.

On sait que `A(t_{"fin"})=A_\text {0}\times e^{ -\lambda\times t_{"fin"}}=0,63\times A_0`

Soit : `e^{ -\lambda\times t_{"fin"}}=0,63` , ou encore  : `-\lambda\times t_{"fin"}=ln(0,63)`

`t_{"fin"}=-\frac{ln(0,63)}{\lambda}=-\frac{ln(0,63)}{ln2}\times t_{"1/2"}=-\frac{ln(0,63)}{ln2}\times6,0\ "h"=4,0\ "h"`

Il a fallu `4,0\ "h"` pour arriver à cette activité. Puisque l'injection a eu lieu à 14 h, l'examen s'est terminé à 18 h.